Μαθηματική απόδειξη μεγαλύτερη από εγκυκλοπαίδεια
Τη δεκαετία του 1930 ο Ούγγρος μαθηματικός Paul Erdős ασχολήθηκε με τη συμπεριφορά άπειρων ακολουθιών των αριθμών 1 και -1 που επαναλαμβάνονται με τυχαία σειρά, ερευνώντας για μοτίβα που εμφανίζονται στα επιμέρους τμήματα. Ένας από τους τρόπους που σκέφτηκε για να μελετήσει μία τέτοια άπειρη ακολουθία, ήταν να επικεντρωθεί σε ένα τμήμα της και να δημιουργήσει μικρότερες υποακολουθίες, λαμβάνοντας υπόψη κάθε νιοστό ψηφίο, όπως για παράδειγμα κάθε δεύτερο, τρίτο ή έκτο ψηφίο. Στη συνέχεια όρισε το μέγεθος της ασυμφωνίας, ως το άθροισμα των ψηφίων της κάθε ακολουθίας.
Η υποψία του Erdős ήταν πως για κάθε άπειρη ακολουθία, υπάρχει μία πεπερασμένη υποακολουθία της οποίας η ασυμφωνία είναι μεγαλύτερη από οποιοδήποτε αριθμό μπορεί να διαλέξει κανείς. Μη καταφέρνοντας να αποδείξει μάλιστα τον ισχυρισμό του, προκήρυξε και το έπαθλο των 500$, σε όποιον άλλον τα κατάφερνε, κάτι που δε συνέβη όμως για τα επόμενα 80 χρόνια.
Το πρόβλημα για μικρές ακολουθίες είναι σχετικά απλό: για παράδειγμα σε ακολουθίες 12 ψηφίων, είναι δυνατό να αποδειχτεί ακόμη και με το χέρι πως υπάρχει πάντα μία υποακολουθία της οποίας η ασυμφωνία είναι μεγαλύτερη από 1. Καθώς όμως ο αριθμός των ψηφίων μεγαλώνει το πρόβλημα γίνεται ολοένα και πιο περίπλοκο.
Οι Alexei Lisitsa και Boris Konev, ερευνητές του πανεπιστημίου του Λίβερπουλ, με τη βοήθεια ενός προγράμματος υπολογιστή, επέκτειναν τη λύση για ακολουθίες 1161 ψηφίων, όπου απέδειξαν πως πάντοτε βρίσκεται μία υποακολουθία με ασυμφωνία μεγαλύτερη από 12, ενώ σε άπειρες ακολουθίες έδειξαν πως πάντοτε υπάρχει υποακολουθία με ασυμφωνία μεγαλύτερη από 2.
Αν και η εργασία τους αποτελεί ένα σημαντικό βήμα για τη διερεύνηση του ισχυρισμού του Erdős, η αξιολόγησή της είναι πρακτικά αδύνατη, εξαιτίας του όγκου των πράξεων που περιέχονται που αντιστοιχούν σε εκατομμύρια σελίδες. Όπως εξηγούν οι επιστήμονες η έρευνα της συμπεριφοράς του απείρου οδηγεί κάποιες φορές και σε «μη-ανθρώπινα» μαθηματικά.
Ωστόσο οι επιστήμονες πιστεύουν πως εάν άλλα προγράμματα αναπαράγουν τα ίδια αποτελέσματα τότε θα υπάρχει και μία έμμεση επιβεβαίωση των αποτελεσμάτων τους, κάτι που προσπαθούν να κάνουν αυτό το διάστημα μαθηματικοί του πανεπιστημίου της Ιερουσαλήμ.
Η υποψία του Erdős ήταν πως για κάθε άπειρη ακολουθία, υπάρχει μία πεπερασμένη υποακολουθία της οποίας η ασυμφωνία είναι μεγαλύτερη από οποιοδήποτε αριθμό μπορεί να διαλέξει κανείς. Μη καταφέρνοντας να αποδείξει μάλιστα τον ισχυρισμό του, προκήρυξε και το έπαθλο των 500$, σε όποιον άλλον τα κατάφερνε, κάτι που δε συνέβη όμως για τα επόμενα 80 χρόνια.
Το πρόβλημα για μικρές ακολουθίες είναι σχετικά απλό: για παράδειγμα σε ακολουθίες 12 ψηφίων, είναι δυνατό να αποδειχτεί ακόμη και με το χέρι πως υπάρχει πάντα μία υποακολουθία της οποίας η ασυμφωνία είναι μεγαλύτερη από 1. Καθώς όμως ο αριθμός των ψηφίων μεγαλώνει το πρόβλημα γίνεται ολοένα και πιο περίπλοκο.
Οι Alexei Lisitsa και Boris Konev, ερευνητές του πανεπιστημίου του Λίβερπουλ, με τη βοήθεια ενός προγράμματος υπολογιστή, επέκτειναν τη λύση για ακολουθίες 1161 ψηφίων, όπου απέδειξαν πως πάντοτε βρίσκεται μία υποακολουθία με ασυμφωνία μεγαλύτερη από 12, ενώ σε άπειρες ακολουθίες έδειξαν πως πάντοτε υπάρχει υποακολουθία με ασυμφωνία μεγαλύτερη από 2.
Αν και η εργασία τους αποτελεί ένα σημαντικό βήμα για τη διερεύνηση του ισχυρισμού του Erdős, η αξιολόγησή της είναι πρακτικά αδύνατη, εξαιτίας του όγκου των πράξεων που περιέχονται που αντιστοιχούν σε εκατομμύρια σελίδες. Όπως εξηγούν οι επιστήμονες η έρευνα της συμπεριφοράς του απείρου οδηγεί κάποιες φορές και σε «μη-ανθρώπινα» μαθηματικά.
Ωστόσο οι επιστήμονες πιστεύουν πως εάν άλλα προγράμματα αναπαράγουν τα ίδια αποτελέσματα τότε θα υπάρχει και μία έμμεση επιβεβαίωση των αποτελεσμάτων τους, κάτι που προσπαθούν να κάνουν αυτό το διάστημα μαθηματικοί του πανεπιστημίου της Ιερουσαλήμ.
