Πώς οι αρχαίοι αντιλαμβάνονταν τους αριθμούς.
Τι είναι τα μαθηματικά.Τα μαθηματικά είναι:
1. Mία επιστήμη αυστηρότατου τύπου όπως η λογική αλλά ευρύτερη και περιεκτικότερη
2. Μια γνήσια τέχνη πλάι στη γλυπτική, την μουσική την αρχιτεκτονική γιατί πρώτα πρώτα χρειάζονται έμπνευση
3. Μια μεταφυσική ανωτάτου επιπέδου όπως προτείνει ο Πλάτων και ο Λάιμπνιτς.
Και επιπλέον, η ιστορία μας διδάσκει πως κάθε φιλοσοφία αναπτύσσεται σε αντιστοιχία με κάποιο τύπο μαθηματικών. Όπως δεν υπάρχει γενικά τέχνη, αλλά συγκεκριμένες τέχνες, ή πιο συγκεκριμένα, όπως δεν υπάρχει γενικά αρχιτεκτονική αλλά ρυθμοί της αρχιτεκτονικής έτσι δεν υπάρχουν γενικά μαθηματικά αλλά μαθηματικά πολιτισμών.
Διαπιστώνουμε έναν αρχαίο και έναν δυτικό τύπο μαθηματικής σκέψης και κατά προέκταση, αριθμό. Η εσωτερική δομή της ευκλείδειας γεωμετρίας είναι κάτι τελείως διαφορετικό από τη δομή της καρτεσιανής. Η ανάλυση που κάνει ο Αρχιμήδης είναι διαφορετική από εκείνη τού Γκάους. Και όχι μόνο στη μορφολογία αλλά και στο βάθος.
Ο αριθμός λοιπόν, δεν παραπέμπει γενικά στον άνθρωπο αλλά στον καθορισμένο άνθρωπο ενός καθορισμένου πολιτισμού. Καθώς στο παιδί αφυπνίζεται το εγώ του, γίνεται ανώτερος άνθρωπος, μέλος ενός συγκεκριμένου πολιτισμού, ένα εσωτερικό βίωμα σημαδεύει την αρχή της κατανόησης τόσο των αριθμών όσο και της γλώσσας. Το ύφος των μαθηματικών εξαρτάται από τον πολιτισμό στον οποίο έχουν τις ρίζες τους, άρα από τους ανθρώπους που τα έχουν σκεφθεί.
Επομένως δεν υπάρχει μια μαθηματική επιστήμη αλλά πολλών ειδών μαθηματικά. Είναι παραπλανητική η εικόνα μιας προοδευτικήςανέλιξης των μαθηματικών. Στην πραγματικότητα υπάρχουν πολλές χωριστές, ανεξάρτητες εξελίξεις. Μια επανειλημμένη γέννηση νέων μορφών, μια διαδικασία άνθισης, ωρίμανσης, μαρασμού και θανάτου, με ορισμένη διάρκεια.
Η συγγένεια των μαθηματικών με τις μεγάλες τέχνες είναι αναμφισβήτητη. Η μορφολογική αίσθηση του γλύπτη, του ζωγράφου ,του αρχιτέκτονα , του μουσουργού είναι στην ουσία μαθηματική. Είναι ο Πυθαγόρας ο πρώτος που το κατανόησε. Τα μαθηματικά στις ανώτερες στιγμές τους είναι οραματικά και αφαιρετικά. Το βασίλειο των αριθμών γίνεται ομοίωμα της μορφής του κόσμου. Στέκεται πλάι στο βασίλειο των ήχων των γραμμών και των χρωμάτων.
Ο μαθηματικός που δεν είναι και λίγο ποιητής δεν είναι τέλειος μαθηματικός. Τα μαθηματικά είναι επίσης μια τέχνη. Έχουν τις τεχνοτροπίες τους. Δεν είναι αμετάβλητα, όπως νομίζουν οι περισσότεροι, αλλά αλλάζουν από εποχή σε εποχή. Οι ναοί δωρικού ρυθμού αλλά και οι βυζαντινοί όπως και οι γοτθικοί είναι μαθηματικά που έχουν γίνει πέτρα. Κάθε μεγάλη τέχνη είναι ένας αριθμητικός τρόπος χάραξης ορίων.
Και ο αριθμός; Ο αριθμός, όπως και η λέξη, θέτει πλαίσια και λειτουργεί περιοριστικά πάνω στις εντυπώσεις που σχηματίζουμε από τον κόσμο. Υπάρχει μια απόσταση μεταξύ του αριθμού που συλλαμβάνει ο νους και του αριθμού με τον οποίο εργάζεται ο μαθηματικός, δηλαδή το προφορικό ή το γραπτό σημείο. Πάντως, πρέπει να πούμε πως στο βάθος υπάρχει κάτι το ασύλληπτο , το άφατο, το μυστηριώδες στην έννοια του αριθμού..
Η προέλευση των αριθμών μοιάζει με την προέλευση των ονομάτων. Ο πρωτόγονος άνθρωπος κόβει και δεσμεύει την πραγματικότητα δίνοντας ονόματα στα πράγματα. Επίσης, η δομή των μαθηματικών είναι ίδια με τη δομή της γραμματικής. Δεν είναι λοιπόν παράξενο που όλες οι προτάσεις, πλην των επιφωνηματικών μπορούν να γίνουν μαθηματικές προτάσεις. Αν λοιπόν, η ανθρώπινη συνείδηση αριθμεί και ονοματοδοτεί τα πράγματα, τότε Φύση είναι τα απαριθμήσιμα ενώ
Ιστορία όσα δεν έχουν σχέση με τα μαθηματικά. Από δω πηγάζει και η έκπληξη του πατέρα της επιστήμης ,του Γαλιλαίου, ότι η φύση είναι scritta in lingua
matematica.
Οι ακριβείς επιστήμες φθάνουν ακριβώς εκεί που υπάρχει η δυνατότητα εφαρμογής των μαθηματικών.Ο Πυθαγόρας ήταν ο πρώτος, ο οποίος ακολουθώντας μια μεγαλειώδη θρησκευτική διαίσθηση, κατανόησε ότι στον αριθμό υπάρχει η ουσία κάθε πραγματικότητας που είναι προϊόν του γίγνεσθαι, που έχει γνωσθεί και που έχει περιχαραχθεί.Επίσης πάλι ο Πυθαγόρας ήταν που πρώτος συνέλαβε επιστημονικά τον αρχαίο αριθμό ως βασική αρχή μιας κοσμικής τάξηςπραγμάτων, ως μέτρο και ως μέγεθος.
Το αρχαίο πνεύμα δημιούργησε τα μαθηματικά του σχεδόν από το μηδέν μέσα από φαινομενικές αλλαγές και βελτιώσεις των προϋπαρχόντων αιγυπτιακών και βαβυλωνιακών μαθηματικών. Το ίδιο συνέβη, πολύ αργότερα, και με τα δυτικά μαθηματικά που έπρεπε να εκμηδενίσουν τα Ευκλείδεια και οτιδήποτε ήταν ξένο προς το χαρακτήρα τους. Τα πρώτα έγιναν από τον Πυθαγόρα, τα δεύτερα από τον Καρτέσιο. Αυτές οι πράξεις είναι ταυτόσημες.
Όταν το 540 π.Χ. ο Πυθαγόρας διατύπωσε την αρχή ότι: η ουσία όλων των πραγμάτων είναι ο αριθμός, δεν έγινε ένα μόνο βήμα στην εξέλιξη των μαθηματικών αλλά γεννήθηκαν εντελώς νέα μαθηματικά, διαφορετικά από εκείνα της Αιγύπτου και της Βαβυλώνας. Τα αρχαία μαθηματικά ολοκληρώθηκαν τον 2ο αιώνα πΧ ενώ είχαν αναγγελθεί αιώνες πριν. Τις αναγγελίες αυτές τις βρίσκουμε μέσα σε μεταφυσικούς προβληματισμούς και σε τάσεις της τέχνης. Βλέπουμε λοιπόν, η ιδέα της ευκλείδειας γεωμετρίας να πραγματώνεται αιώνες πριν την διατύπωσή της. Αυτό γίνεται στην αρχαία διακοσμητική.
Ποιο, τέλος πάντων, είναι εκείνο το χαρακτηριστικό που διακρίνει τα αρχαία μαθηματικά από τα μαθηματικά των άλλων πολιτισμών; Νομίζω ότι όλο αυτό περικλείεται στη φράση: ο αριθμός συνιστά την ουσία όλων των αισθητών πραγμάτων. Έτσι ορίζεται ο αριθμός ως μέτρο. Αυτή είναι η αίσθηση των αρχαίων για τον κόσμο τους .
Η αίσθηση μιας ψυχής προσηλωμένης στο εδώ και τώρα. Ακόμη μετρώ σημαίνει συγκρίνω.
Μετρώ κάτι κοντινό και σωματικό. Για να κατανοήσουμε καλύτερα το νόημα που έδιναν οι αρχαίοι στον αριθμό ας επιστρατεύσουμε την τέχνη. Ποια είναι η πεμπτουσία του αρχαίου έργου τέχνης; μα φυσικά ένας ολόγυμνος ανδριάντας. Τι αποδίδεται μ ‘ αυτό; Η ύπαρξη όπως είναι, σωματική, με όλες τις αναλογίες της. Σ’ αυτό αναγνωρίζουμε την Πυθαγόρεια έννοια της αρμονίας. Σε κανέναν άλλο πολιτισμό δεν αποθεώθηκαν οι σχέσεις μηκών όπως στον αρχαίο κόσμο. Αυτό το βλέπουμε και στη μουσική. Φτιαγμένη από αρμονικές σχέσεις αριθμών, αλλά μονοφωνική. Ένα έργο σωματικό με μεμονωμένο ήχο.
Εδώ ας κάνουμε μια αναφορά στη χρυσή τομή. Η χρυσή τομή ή αλλιώς ο αριθμός φ είναι η σχέση δυο μηκών με λόγο περίπου 1,618. Οι τρόποι που προκύπτει αυτός ο αριθμός είναι πολλοί. Ας αναφέρουμε μόνο τους μέσους ανάλογους, την πεντάλφα, το ιερό σύμβολο των Πυθαγορείων, τους αριθμού Fibonacci κ.ά. Είναι μια αναλογία που τη συναντάμε πρώτα πρώτα στη Φύση, π.χ. στο τρόπο που βγαίνουν τα φύλλα, στις διακλαδώσεις των βρόγχων των πνευμόνων, στους έλικες που σχηματίζουν κάποια κελύφη και πολλά άλλα.
Αυτή την αναλογία την τηρούσαν σε πολλά οικοδομήματα οι αρχαίοι αλλά δεν έχουμε στοιχεία αν ήταν εν γνώσει τους ή απλώς διαισθητικά την εφάρμοζαν. Πάντως ο κανόνας αυτός τηρήθηκε και κατά την εποχή του Μπαρόκ με ιερή συνέπεια και αποδόθηκε στην αρχαία σοφία. Εδώ πρέπει να σημειώσω, πως ποτέ κανείς άλλος πολιτισμός δεν θαύμασε και δεν δόξασε τόσο πολύ ένα προγενέστερό του, όσο ο δυτικός πολιτισμός τον αρχαίο.
Για τον Πυθαγόρα , ο αριθμός ήταν ένα οπτικό σύμβολο και όχι μια αφηρημένη σχέση. Ολόκληρη η αρχαιότητα αντιλαμβάνεται τους αριθμούς ως μονάδες μέτρησης, ως μεγέθη, γραμμές, επιφάνειες. Όλα τα αρχαία μαθηματικά είναι σε τελική ανάλυση στερεομετρία. Ο Ευκλείδης όταν μιλάει για ένα τρίγωνο αναφέρεται σε μια επιφάνεια ενός σώματος, ποτέ δεν σκέφτεται ένα σύστημα τριών τεμνομένων ευθειών ή, ακόμη χειρότερα, τρία σημεία στο χώρο.
Ο αρχαίος αριθμός δεν αναφέρεται σε σχέσεις στο χώρο αλλά σε ενότητες απτές, χωριστές για το ανθρώπινο μάτι. Έτσι η αρχαιότητα γνωρίζει μόνο φυσικούς αριθμούς που είναι θετικοί και ακέραιοι. Δεν γνωρίζει το μηδέν. Η ιδέα των αρρήτων αριθμών δηλαδή των δεκαδικών με άπειρα μη επαναλαμβανόμενα ψηφία παραμένει ασύλληπτη για το ελληνικό πνεύμα.
Ο Ευκλείδης λέει, ότι τα ασύμμετρα μέρη μιας ευθείας δεν συμπεριφέρονται σαν αριθμοί. Πολύ δε περισσότερο, ο υπερβατικός αριθμός δεν είναι καν μέγεθος διότι ένας τέτοιος αριθμός πχ το π δεν μπορεί να παρασταθεί γεωμετρικά.
Ο άρρητος, λοιπόν, αριθμός παρ’ ότι δεν είναι χάος, αλλά ένα κλειστό μέγεθος, παίρνει τον χαρακτήρα ενός άλλου είδους αριθμού που είναι έξω από την αίσθηση του κόσμου για τους αρχαίους, είναι κάτι μυστηριώδες και ο μαθηματικός βρίσκεται προ της πύλης της κολάσεως, στην αποκάλυψη ενός τρομερού μυστικού της ίδιας της ύπαρξης. Εδώ έχει τις καταβολές του ο μύθος που μας μιλά για το θάνατο από ναυάγιο του πρώτου αποκαλύψαντα το μυστικό.
Επειδή το άρρητο και μη εικονιζόμενο πρέπει να παραμείνει πάντα εν κρυπτώ και παραβύστω.Αυτό το συναίσθημα είναι έκδηλο στον Τίμαιο του Πάτωνα. Με τη μετατροπή της ασυνεχούς σειράς των αριθμών σε ένα συνεχές δεν αμφισβητείται μόνο η έννοια του αριθμού αλλά και η έννοια του ίδιου του αρχαίου κόσμου.
Το όλο πρόβλημα ,γλαφυρά μας το αναπαριστά μια αρχαία τραγωδία , στην οποία ένας θρυλικός βασιλεύς της Κρήτης, θρηνεί διότι το κενοτάφιο που προορίζεται για τον γιό του είναι πολύ μικρό. Ζητά, λοιπόν να διπλασιασθεί ο όγκος του διατηρώντας όμως, το κυβικό σχήματα του.
Το πρόβλημα αυτό έγινε διάσημο, όταν οι κάτοικοι της Δήλου ρωτούν το Μαντείο των Δελφών τι να πράξουν για να σταματήσουν το λοιμό που μάστιζε το νησί τους.
Κατά το Μαντείο , λοιπόν, έπρεπε να διπλασιάσουν τον όγκο του κυβικού βωμού του Απόλλωνα. Το πρόβλημα , όμως, το Δήλιον πρόβλημα, όπως έμεινε στην ιστορία, δεν έχει γεωμετρική λύση.
Για τους αρχαίους οι αριθμοί έχουν μεταμαθηματικό νόημα.
Ο 1 είναι η αρχή όχι μόνο όλων των πραγματικών αριθμών αλλά και κάθε μεγέθους, κάθε μέτρου, κάθε υλικότητας. Στους Πυθαγορείους, δε, ήταν σύμβολο της μήτρας, της πηγής της ζωής.
Το 2 ήταν η αρσενική αρχή και το σύμβολό του ο φαλλός.
Το ιερό 3 δήλωνε την πράξη της ένωσης, του άνδρα και της γυναίκας, την τεκνοποιία και το σύμβολό του ήταν η συνένωση των δυο πρώτων αριθμών.
Καταλαβαίνετε , λοιπόν, γιατί η ανακάλυψη του αρρήτου είναι ένα ανοσιούργημα, η διασάλευση της τεκνοποιητικής τάξης που έχουν θέσει οι ίδιοι οι θεοί.
Είναι έκδηλος ο τρόμος των Ελλήνων εμπρός στην διασάλευση της κοσμικής τάξης όπως, τουλάχιστον, τον προσλαμβάνουμε από τις αρχαίες τραγωδίες. Δεν είναι ,άραγε, ο ήρωας αυτός που προκαλεί, ακουσίως ή εκουσίως, την παραβίαση της τάξης των Θεών;
Έτσι στα αρχαία μαθηματικά δεν μπορούν να υπάρξουν ούτε καν οι αρνητικοί αριθμοί πόσο μάλλον το μηδέν σαν αριθμός. Το (-2)*(-3)=+6 ούτε μπορεί να παρασταθεί ούτε είναι ιδέα μεγέθους.
Ο Πλάτων, ο Αρχύτας, ο Εύδοξος μιλούν για αριθμούς επιφανειών και σωμάτων αυτό που εμείς έχουμε ως δεύτερη και τρίτη δύναμη. Όπως καταλαβαίνετε, ανώτερες δυνάμεις είναι ανύπαρκτες. Φανταστείτε κλασματικές ή ακόμη χειρότερα μιγαδικές. Όλα αυτά είναι παράλογα. Ούτε μπορούσε να γεννηθεί η ιδέα του μηδενός μιας και κάτι τέτοιο δεν μπορεί να σχεδιασθεί.
Για να επιστρέψουμε πάλι στη γλυπτική. Η επεξεργασμένη πέτρα είναι κάτι μόνο αν έχει σαφή όρια και αρμονική μορφή, δηλαδή αναλογίες σύμφωνες με τα φυσικά απτά αντικείμενα. Ειδάλλως είναι χάος, κάτι που δεν υπάρχει, τίποτε. Η πέτρα μορφούμενη από την σμίλη του καλλιτέχνη μετατρέπεται από χάος σε κόσμο. Αυτή είναι και η Θεολογία των αρχαίων.
Αυτό όταν το μεταφέρουμε σε μεγάλη κλίμακα έχουμε από τη μια το Χάος και από την άλλη τον κόσμο, δηλαδή, όλα τα απτά πράγματα σε αρμονική τάξη. ; Και η απόσταση μεταξύ των σωμάτων; Δεν είναι τίποτε, είναι το μη όν. Έκταση για τον αρχαίο σημαίνει σωματικότητα. Είναι κάτι που υπάρχει και μπορούμε να το μετρήσουμε, ενώ για μας, τον δυτικό άνθρωπο, έκταση είναι ο χώρος.
Στην Καντιανή φιλοσοφία αλλά και στη Φυσική φιλοσοφία του Νεύτωνα, ο χώρος, το κενό είναι πιο σημαντικό από τα πράγματα. Αυτά εμβαπτίζονται στον χώρο και παίρνουν τις ιδιότητές του. Ίσως και γι αυτό η γλώσσα μας είναι φτωχή σ΄ αυτόν τον τομέα. Δεν έχει ούτε ουσιαστικά ούτε επίθετα που να αποδίδουν κάτι τέτοιο. Για το πόσο απεχθές ήταν για τους αρχαίους το κενό, θα αναφέρουμε τη ρήση του Αριστοτέλη: η φύση δεν αγαπά το κενό.
Ο κόσμος οφείλει να είναι γεμάτος από σώματα απτά. Αυτό που εμείς αντιλαμβανόμαστε σαν κενό άπειρο διάστημα, για τους αρχαίους είναι γεμάτο από ύλη. Ακόμη και ο έναστρος ουρανός από τη μια έχει όριο, είναι πεπερασμένος και από την άλλη καταλαμβάνεται από μια πιο λεπτή ύλη, την Πεμπτουσία που την συναντάμε αργότερα και ως αιθέρα.
Για να μπορέσουμε να καταλάβουμε τη βαθύτερη έννοια της αρχαίας μεταφυσικής πρέπει να ανατρέξουμε στο άπειρο του Αναξίμανδρου. Είναι αυτό που δεν έχει κανέναν αριθμό, κανένα μετρημένο μέγεθος και όριο δηλαδή, καμία ουσία, το άμετρο, η μη μορφή όπως ένα άγαλμα που δεν αναδύθηκε από την πέτρα. Είναι η αρχή , το απεριόριστο, το άμορφο, που μόνο μέσω των ορίων γίνεται κάτι, γίνεται κόσμος. Είναι η σωματικότητα καθ΄ αυτήν κάτι που ο δυτικός άνθρωπος, μέσω του Καντ, το συνέλαβε σαν χώρο.
Στην αρχαιότητα δεν εμφανίστηκε καμία ιδέα ενός απείρου σύμπαντος, κάτι που είχε διατυπωθεί αιώνες πριν από την Βαβυλωνιακή αστρονομία. Ακόμη και ο Αρχιμήδης, ίσως ο μεγαλύτερος μαθηματικός της αρχαιότητας, πάντως ο πιο εικονοκλάστης, προσπαθεί να φανταστεί το σύμπαν και μάλιστα να το μετρήσει.
Ανακαλύπτει τρόπους γραφής των αριθμών για να μπορέσει να χειρισθεί μεγάλους αριθμούς.
(Οι αρχαίοι , ως γνωστόν, έφθαναν την αρίθμησή ρους μέχρι τις μυριάδες μυριάδων, δηλαδή, με το δικό μας σύστημα αρίθμησης , στο 108 -100 εκατομμύρια. Ο Αρχιμήδης επινοεί νέο σύστημα αρίθμησης που φθάνει μέχρι έναν αριθμό με 160 εκατομμύρια μηδενικά.) Το σύμπαν του, όμως, δεν είναι τίποτε άλλο παρά μια στερεομετρική μεγάλη, πλην πεπερασμένη, σφαίρα έκτασης 1010 σταδίων, κάτι περισσότερο από 70 ημέρες φωτός. Αν το ηλιακό μας σύστημα, μέχρι τον Πλούτωνα, έχει διάμετρο 1 cm, τότε το σύμπαν του Αρχιμήδη φθάνει τα 3m
Ο Ζήνων ο Ελεάτης, στις αρχές του 5ου αιώνα, διατύπωσε κάποιους συλλογισμούς που έμελλε να παίξουν πολύ ουσιαστικό ρόλο στη μαθηματική σκέψη των Ελλήνων. Ο σκοπός των συλλογισμών αυτών ήταν να αποδειχθεί το αδύνατο ή της κίνησης ή της πολλαπλότητας. Ο γνωστότερος ήταν ο αγώνας του Αχιλλέα και της χελώνας.
Ο Αχιλλέας δεν μπορεί ποτέ να φθάσει και να ξεπεράσει την χελώνα που προπορεύεται. Διότι πρέπει πρώτα να διατρέξει το διάστημα που τον χωρίζει από την τωρινή της θέση, έπειτα το διάστημα που διέτρεξε η χελώνα κατά την πρώτη φάση της κίνησης, κατόπιν το διάστημα που διατρέχει κατά τη δεύτερη φάση και ούτω καθ’ εξής επ’ άπειρον.
Το ίδιο συμβαίνει και με ένα βέλος που εκτοξεύεται ενάντια σ’ έναν στόχο. Το βέλος, λοιπόν, πρέπει πρώτα να διατρέξει το μισό της απόστασης, μετά το μισό του μισού , μετά το μισό του προηγουμένου και ούτω καθ’ εξής. Κάτι τέτοιο θα χρειαζόταν άπειρο χρόνο γιατί και τα διαστήματα που προκύπτουν είναι άπειρα. Τα προβλήματα αυτά ανάγονται στη δυνατότητα υπολογισμού της φθίνουσας ακολουθίας με άπειρους όρους:
Οι αρχαίοι δεν ασχολήθηκαν με την επίλυση αυτού του προβλήματος. Ήταν τελείως έξω από τη συλλογιστική τους. Παρότι ήταν προφανές πως το βέλος θα φθάσει σε πεπερασμένο χρόνο το στόχο του κι ο Αχιλλέας θα προφτάσει και θα ξεπεράσει τη χελώνα, έπρεπε να έρθει ο 17ος αιώνας ώστε οι μαθηματικοί να δώσουν ένα τελείως διαφορετικό νόημα στους αριθμούς για να μπορέσουν τελικά να αποδείξουν ότι μια φθίνουσα ακολουθία απείρων όρων μπορεί να έχει πεπερασμένο αποτέλεσμα.
Είναι ο κλάδος των μαθηματικών που ονομάζεται απειροστικός λογισμός. Η αδυναμία τους, λοιπόν, να χειρισθούν τέτοιες μαθηματικές παραστάσεις τους εγκλώβισε και δεν τους επέτρεψε να ασχοληθούν με θέματα κίνησης. Δυστυχώς η συμβολή τους στην κινητική είναι ελάχιστη.
Τον τρίτο αιώνα πχ στην Αλεξάνδρεια, σ΄ ένα κύκλο αστρονόμων ,ο Αρίσταρχος ο Σάμιος, σχεδιάζει το ηλιοκεντρικό σύστημα. Το σύστημα, όμως αυτό έγινε δεκτό με αδιαφορία απ΄ τον αρχαίο κόσμο και ξέπεσε στη λήθη.Μερικοί σοφοί μόνο, το υποστήριξαν. Πιο γνωστός ο Σέλευκος.Η σύλληψη αυτή είχε να αντιμετωπίσει δυο διλήμματα.
1) Ή η γη ή ο ήλιος είναι κέντρο του σύμπαντος;
2) Ή υπάρχει μια πεπερασμένη ουράνια σφαίρα ή το αχανές διάστημα;
Στο πρώτο δίλημμα , όποια και αν είναι η απάντηση δεν ξεφεύγουμε από την αρχαία αίσθηση του κόσμου. Εκείνο που θα ήταν πράγματι μπουνιά στο στομάχι θα ήταν η δεύτερη παραδοχή στο δεύτερο δίλημμα. Ένα αχανές διάστημα πέρα από την σφαίρα των απλανών δεν συμβιβάζεται με το αρχαίο πνεύμα. Πάντως ο ίδιος ο Αρίσταρχος στα όψιμα έργα του δεν ασχολείται πλέον με το ηλιοκεντρικό σύστημα και κάνει υπολογισμούς πάνω στο γεωκεντρικό. Η σύλληψή του πέφτει σε νάρκη μέχρι τον 16ο αιώνα.
Και ας περάσουμε σε έναν άλλον διάσημο αρχαίο μαθηματικό τον Διόφαντο. Ο Διόφαντος έζησε γύρω στα 250 μΧ., δηλαδή τον 3ο αιώνα ενός νέου πολιτισμού που ξεκίνησε από την αυτοκρατορική Ρώμη και φτάνει μέσω του Βυζαντίου και του Ισλάμ στην Οθωμανική αυτοκρατορία. Ο Διόφαντος ήταν ο πρώτος πουαπελευθέρωσε τον αριθμό από την δέσμευσή του από τον κόσμο των αισθήσεων.
Έτσι ξεκινά η άλγεβρα. Μπορεί , βέβαια, να μη τη δημιούργησε ο ίδιος αλλά έσπειρε τις πρώτες βασικές ιδέες . Δεν πρόκειται για έναν εμπλουτισμό των αρχαίων μαθηματικών αλλά για υπέρβαση. Τα μαθηματικά του βρίσκονται μακριά από την αίσθηση του αρχαίου κόσμου, από την Ευκλείδεια Γεωμετρία, από την γλυπτική του γυμνού αγάλματος.
Η ιδέα του αριθμού ως μεγέθους δεν διευρύνεται τώρα αλλά σταδιακά διαλύεται. Κανένας Έλληνας δεν θα μπορούσε να πει τι είναι ένας απροσδιόριστος αριθμός α και τι ένας αφηρημένος αριθμός 3. Και τα δυο δεν είναι ούτε μεγέθη ούτε τμήματα ευθείας. Είναι αυτό που λέμε εμείς, υπολογισμός με γράμματα, που εμφανίζεται στα σύγχρονα μαθηματικά το 1591 από τον Βιέτα.
Την εποχή του έχουμε από τη μια το σβήσιμο του αρχαίου κόσμου της αττικής αγαλματοποιίας και από την άλλη την ανάδυση των θολωτών οικοδομημάτων, των ψηφιδωτών και ανάγλυφων σαρκοφάγων παλαιοχριστιανικού συριακού ρυθμού. Τότε που ο Διοκλητιανός μετατρέπει την αυτοκρατορία σε χαλιφάτο, που κτίζεται το Πάνθεον, το παλαιότερο τέμενος.
Στον Διόφαντο ο αριθμός δεν είναι πια μέτρο όπως και στα ψηφιδωτά της Ραβέννας και της Κωνσταντινούπολης, ο άνθρωπος δεν είναι σώμα. Μπορεί ακόμη να μη γνωρίζει το μηδέν ούτε τους αρνητικούς αριθμούς , αλλά πόρρω απέχει και από τους Πυθαγορείους αριθμούς.
Η στερεομετρική αίσθηση των αριθμών που έφθασε στη μέγιστη εκλέπτυνση και κομψότητα με τον Αρχιμήδη και που προϋποθέτει μια κοσμοπολίτικη ευφυΐα , έχει εξαφανισθεί. Παντού στο βυζαντινό-αραβικό κόσμο που αναδύεται, επικρατούσε ένα μουντό κλίμα, μια λαχτάρα και ένας μυστικισμός, όχι πια η αττική φωτεινότητα και η ελεύθερη διάθεση.
Ο άνθρωπος ήταν ένα θνητό, επίγειο πλάσμα της υπαίθρου, όχι μιας μεγαλούπολης όπως ο Ευκλείδης και ο Αρχιμήδης. Μόνο στη Βαγδάτη στον 9ο αιώνα, στον ώριμο αραβικό πολιτισμό ολοκληρώθηκαν, με την πλήρη ανάπτυξη της άλγεβρας οι συλλήψεις του Διόφαντου. Της άλγεβρας, που το όνομά της το πήρε από το εγχειρίδιο Αλ- Γκαμπίρ του Πέρση μαθηματικού, αστρονόμου και γεωγράφου, Αλ-Χοβαρίσμι, που και αυτός πάλι έδωσε το όνομά του στον αλγόριθμο.
Οι σκέψεις του αρχαίου ανθρώπου αρχίζουν και τελειώνουν με το μεμονωμένο σώμα και τις επιφάνειες που το αποτελούν. Εμείς , ο δυτικός άνθρωπος, γνωρίζουμε μόνο το αφηρημένο χωρικό στοιχείο του σημείου που δεν εποπτεύεται και δεν μετριέται. Απλώς υπάρχει σαν κέντρο σχέσεων. Η ευθεία για τον Έλληνα είναι απλώς μια ακμή, για μας ένα απεριόριστο συνεχές σημείων.
Ο Λάιμπνιτς ορίζει ως εξής την ευθεία και το σημείο. Η μεν ευθεία είναι το ακρότατο όριο μιας περιφέρειας άπειρης ακτίνας ενώ το σημείο ακριβώς το αντίθετο. Για τον Έλληνα, όμως, ο κύκλος είναι μια επιφάνεια και όλο το πρόβλημα είναι πως θα την φέρουμε σε μια σύμμετρη μορφή. Έτσι ο τετραγωνισμός του κύκλου έγινε το οριακό πρόβλημα των αρχαίων.
Γι αυτούς ήταν το βαθύτερο από όλα τα προβλήματα της μορφής του κόσμου : καμπυλόγραμμες επιφάνειες να τις μετατρέψουν σε ορθογώνια και να τις καταστήσουν μετρήσιμες. Χαρακτηριστικό δε είναι πως οι αρχαίοι έψαχναν τον αριθμό π με γεωμετρικά μέσα ενώ εμείς με αλγεβρικά.
Ο αρχαίος άνθρωπος εκφράζεται καλλιτεχνικά με το να αποδίδει στο ανθρώπινο σώμα, στο χορό, στη πάλη, στο μάρμαρο, στον ορείχαλκο στάσεις όπου οι γραμμές και οι επιφάνειες έχουν μέτρο και αναλογίες. Ενώ ο δυτικός καλλιτέχνης χάνεται μέσα στη περιοχή της ασώματης μουσικής και οδηγείται με την αρμονία και την πολυφωνία σε μια υπερβατικότητα πέρα από κάθε δυνατότητα οπτικού προσδιορισμού..
Ως ένα βαθμό μπορούμε να πραγματευθούμε τη γεωμετρία ως άλγεβρα και την άλγεβρα ως γεωμετρία. Το πρώτο το κάνουμε εμείς , το δεύτερο οι αρχαίοι Έλληνες.
Το απολλώνιο μαθηματικό πνεύμα υπηρετεί το μάτι, τα σύγχρονα μαθηματικά υπερβαίνουν το μάτι. Από την θεμελιώδη αντίθεση μεταξύ αρχαίων και δυτικών αριθμών προκύπτει και μια βαθιά αντίθεση που αφορά τη σχέση των στοιχείων του καθενός απ΄ αυτούς τους αριθμητικούς κόσμους.
Η σχέση μεταξύ μεγεθών λέγεται αναλογία, ενώ εκείνη μεταξύ σχέσεων εμπεριέχεται στη συνάρτηση. Έτσι , λοιπόν, βλέπουμε πόσο σημαντική είναι η τήρηση των
αναλογιών στην κατασκευή των αγαλμάτων, νωπογραφιών και ανάγλυφων, πολύ δε περισσότερο όταν έχουμε σμικρύνσεις και μεγεθύνσεις. Κάτι τέτοιο , όμως δεν έχει κανένα νόημα για την μουσική. Εν αντιθέσει, στη θεωρία των συναρτήσεων η έννοια του μετασχηματισμού ομάδων έχει μεγάλη σημασία. Αυτή είναι η ουσία των variazioni στην ανώτερη σύνθεση της δυτικής μουσικής.
Τα αρχαία μαθηματικά ασχολούνται με τη συγκεκριμένη περίπτωση, λύνουν με υπολογισμούς ορισμένο πρόβλημα, εκτελούν μια μοναδική κατασκευή. Τα δυτικά μαθηματικά πραγματεύονται ολόκληρες κατηγορίες , ομάδες συναρτήσεων, πράξεων , εξισώσεων καμπύλων. Γενικά καλλιεργείται η ιδέα μιας γενικής μορφολογίας μαθηματικών πράξεων και αυτό ακριβώς θεωρείται το πραγματικό νόημα των μαθηματικών.
Τα ερωτήματα που απασχολούν τους σύγχρονους μαθηματικούς, ανάλογα με τον τετραγωνισμό του κύκλου ή το Δήλιο πρόβλημα ,είναι η μελέτη των κριτηρίων σύγκλισης απείρων σειρών, αντιστροφή ελλειπτικών ολοκληρωμάτων σε περιοδικές συναρτήσεις κλπ. Δεν υπάρχει τίποτε λιγότερο δημοφιλές από τα σύγχρονα μαθηματικά εν αντιθέσει με τα προβλήματα που έθεσαν οι αρχαίοι και που γενεές επί γενεών ερασιτεχνών ασχολήθηκαν και ασχολούνται με αυτά.
Όλα τα μεγάλα έργα της Δύσης, από εκείνα του Δάντη μέχρι του Πάρσιφαλ του Βάγκνερ, δεν είναι δημοφιλή ενώ όλα τα αρχαία έργα, από εκείνα του Ομήρου μέχρι τον βωμό της Περγάμου, είναι δημοφιλή μέχρι δημοφιλέστατα.
